A Jakob Bernoulli svájci matematikusról elnevezett Bernoulli-egyenlőtlenség a matematikai analízis egyik fontos tétele.

Egyszerű, de fontos egyenlőtlenség, amivel egy hatványfüggvény alulról becsülhető.

https://youtu.be/2rac6WF96hQ

Elősimeretek

• Teljes indukció
• Nagyságrend őrző becslés

Tétel

Kikötések: $\color{red}h \geq -1$ és $\color{red}n \in \N (1, 2,...)$

$$ 1+nh \leq (1+h)^n $$

• $\color{red}\ge$ ha $\color{red}h \geq -1$ és $\color{red}n \in \N$.
• Szigorúan $\color{red}=$ akkor és csak akkor ha $\color{red}h = 0$ vagy $\color{red}n=1$.
• Szigorúan $\color{red}>$ ha $\color{red}h \ne 0$ és $\color{red}n\ne1$.

Bizonyítás

Teljes indukcióval van bebizonyítva. Külön vannak bizonyítva az egyenlőség és az egyenlőtlenség.

Egyenlőtlenség bizonyítása

• Teljes indukció

Egyenlőség bizonyítása